O modelamento sísmico simula o efeito de propagação da onda através das soluçães das equaçães do movimento e pode ser classificado em três tipos: métodos analíticos ou exatos, métodos geométricos ópticos e métodos diretos. Nos métodos diretos freqüentemente usados, as derivadas espaciais são calculados com precisão pelo uso da FFT ou por operadores de diferenças finitas de altas ordens. Entretanto, a derivada temporal é usualmente aproximada apenas por um operador de diferenças finitas de segunda ordem, o que causa imprecisães. Para remediar essa situação, Tal-Ezer et al., 1984, introduziram um novo método, baseado na expansão de um operador de evolução exponencial através da série de Chebyshev, através do qual a integração temporal da equação da onda é calculada com mais precisão e eficiência. Edwards et al., 1987, sugeriram uma modificação no método original com o intuito de diminuir o trabalho computacional requerido, sem, contudo, perder em acuracidade. Nessa tese, os cálculos feitos com o método modificado, chamado ``REM'' (``Rapid Expansion Method''), foram comparados com duas soluçães analíticas obtidas com a técnica de Cagniard-De Hoop. A primeira é a solução para um meio acústico contendo uma única interface e a segunda estuda o fenâmeno de propagação da onda através de um meio-espaço elástico com superfície livre (``Lamb's problem''). As singularidades das soluçães analíticas foram computacionalmente tratadas pelo método de integração de quadratura de Chebyshev. Desde que os valores do parâmetro do raio como função do tempo para as ondas SP e PS no método de Cagniard não podem ser determinadas de uma forma explícita, esses valores foram então encontrados através do método de Newton-Rapson. Um procedimento similar foi adotado para se determinar os ângulos de incidência e reflexão para essas ondas. No caso acústico as compararaçães analítico-numéricas mostraram-see bem satisfatórias, exceto quando a interface tem baixo ângulo de mergulho. As comparaçães dos dados gerados pelo ``REM'' com as soluçães analíticas do problema de Lamb, mostraram que a condição de tração nula na superfície não é perfeitamente representada pelo esquema numérico, situação em que ondas Rayleigh são geradas imperfeitamente. Bons resultados foram obtidos quando fonte e receptores estão situados em pontos mais profundos da malha numérica.

Seismic modeling simulates wave propagation effects by solving the equations of motion. The modeling can be divided into three types, namely, analytical or exact methods, geometrical optics and direct methods. In the direct methods often used, the spatial derivatives are accurately computed by using FFT's or high order finite difference operators. However, the temporal derivative is usually aproximated by only a second order difference operator, which causes inaccuraties. To remedy this situation, Tal -Ezer et al., 1984, introduced a new direct method, based on an expansion of the exponencial evolution operator through a Chebyshev series. The temporal integration of the wave equation is then performed with more precision and efficiency. Edwards et al., 1987, suggested a modification to the original method in order to decrease the computacional requirements without loss of accuracy. In this thesis the calculations with the modified method, called ``REM'' (Rapid Expansion Method), are compared against two analitic solutions obtained with the Cagniard-De Hoop technique. The first is the solution for an acoustic medium with a single interface and the second studies wave propagation phenomena through an elastic halfspace with a free surface (Lamb's problem). The singularities of the analitic solutions are computationally treated by means of a Chebyshev quadrature integration. Since the values of the ray parameters as a function of time for the SP and PS phases in the Cagniard method can not be determined in a closed form, these values were found by the Newton-Rapson method. A similar procedure was required for finding the incidence and reflection angles for these phases. For the acoustic case, the analitic-numeric comparisons are quite satisfactory, except for the case of gently diping reflectors. The comparisons of ``REM'' data with the analytic solutions for Lamb's problem, show that the zero traction free surface boundary conditions is not perfectly implemented in the numerical scheme, thus generating a imperfect Rayleigh wave. Good agreement with analytic data can be achieved when source and receivers are placed at deep locations in the numerical grid.