Propomo-nos neste trabalho a migrar seções de afastamento constante, bem como seções de parâmetro de raio de afastamento constante em meios homogêneos e verticalmente heterogêneos, estendendo-os a meios vertical e horizontalmente variáveis, quanto à velocidade de propagação das ondas sísmicas. Além disso, apresentamos e discutimos duas alternativas para a realização da migração em meios heterogêneos. Inicialmente, estendemos o método de Ottolini (1982) e, em seguida, apresentamos e discutimos um esquema de migração em marcha reversa no tempo proposto por Biondi (2002), que utiliza a equação DSR (Double Square Root) ou equação de raiz quadrada dupla, resolvida para o quadrado da freqüência angular, w².

Numa primeira etapa, migramos, obtendo bons resultados, seções de afastamentos constantes em meios homogêneos, utilizando o método numérico de migração no domínio da freqüência e número de onda proposto por Dubrulle (1983). De acordo com ele, o campo de ondas, transformado do domínio (x,t) para o domínio (w,k_x, é extrapolado desde a superfície até a profundidade z, em passos discretos Delta z, e corrigido do deslocamento de fase, w t₀, em cada nível de profundidade z. O tempo t₀ é calculado com base nas informações da curva de difração e sua derivada para cada ponto do modelo de subsuperfície.

Posteriormente, numa segunda etapa, migramos seções de afastamento constante em meios homogêneos, e também naqueles meios onde ocorre variação vertical de velocidade, estendendo-o, em seguida, a meios heterogêneos.

Para migrar seções de afastamento constante em meios homogêneos, valemo-nos do trabalho apresentado por Popovici (1994). No seu trabalho, assim como em Dubrulle (1983), o campo de ondas é extrapolado no domínio da freqüência e do n\'umero de onda desde a superfície até a profundidade z, em intervalos regulares Delta z. Popovici (1994), entretanto, calcula o deslocamento de fase via equação DSR, propondo duas alternativas para o seu cômputo, quais sejam, recursivamente para cada nível de profundidade z através do procedimento de força bruta; e pela solução de fase estacionária da equação DSR, para cada par (k_y,w).

Para a solução em meios onde a velocidade de propagação das ondas varia verticalmente, empregamos o algoritmo desenvolvido por Costa (1997), onde o campo de ondas é extrapolado da mesma forma que nos casos anteriores, diferindo apenas no que se refere ao cômputo do deslocamento de fase, que é calculada com base na velocidade média para cada profundidade em meios planos estratificados.

Numa última etapa, implementamos e testamos um algoritmo de migração proposto por Ottolini (1982) para migrar seções de parâmetro de raio de afastamento constante em meios homogêneos e também naqueles meios onde a velocidade de propagação das ondas sísmicas varia verticalmente. Nesse método, os dados organizados em famílias CMP e afastamento, são transformados para o domínio tau-p, a fim de obter seções de parâmetro de raio de afastamento constante. Organizadas em seções de p constante, podemos então migrá-las.

Finalmente, como mais uma contribuição deste trabalho, propomos a extensão do trabalho de Ottolini (1982) para migrar seções de parâmetro de raio de afastamento constante em meios heterogêneos e apresentamos e discutimos a possibilidade de implementação do esquema de marcha reversa no tempo em que rederivamos as equações apresentadas no trabalho de Biondi (2002) e discutimos a aplicabilidade do seu método para meios heterogêneos.

Para estender o método apresentado por Ottolini (1982) para meios heterogêneos usamos uma velocidade de referência para extrapolar o campo de ondas e através da solução da equação eiconal a relação entre o afastamento e o parâmetro de raio de afastamento, p_h, e desta forma, uma segunda correção do tipo split step Freire (1988), Costa (1997) sugerida para corrigir as variações laterais de velocidade.

Neste trabalho, os métodos de Dubrulle (1983), Popovici (1994), Costa (1997) e Ottolini (1982) foram implementados computacionalmente e testados em modelos sintéticos obtendo bons resultados, que demonstram a sua aplicabilidade. Também foi apresentada e discutida a extensão dos trabalhos de Ottolini (1982) para meios heterogêneos, bem como o método proposto por Biondi (2002), visando o seu melhor entendimento para implementação em futuros trabalhos.

We propose in this work to migrate constant offset sections, as well as constant offset ray parameter sections in homogeneous and heterogeneous media. For the heterogeneous case two new alternatives are presented and argued. The first one is the extention of the Otollini's (1982) method and the second the method proposed by Biondi (2002) based on the solution of the DSR equation (Double Square Root equation).

As a first stage of our work, constant offsets section in a homogeneous media were tested, getting good results, using the migration method in the frequency-wavenumber domain presented by \citeN{Dubrulle-1983}. In this method, the data is first transformed to the w-k domain and then extrapolated in depth. The phase shift operator is calculated based on the traveltime curve and its derivative for each point of depht model.

To migrate constant offset sections in homogeneous media, we also use the work presented by Popovici (1994). In this work, as well as in Dubrulle (1983), the wave-field is extrapolated in the frequency-wavenumber domain. Popovici (1994), however, calculates the phase shift via equation DSR, proposing two alternatives for its computation, which is, recursively, for each level of depth z, through the procedure called of brute force; and another the solution through of stationary phase of equção DSR, for each pair (k_y,w).

For the solution in media where the propagation velocity varies vertically, we used the algorithm developed by Costa (1997), where the wave-field is extrapolated in the same way that in the previous case, differing only in the computation of the phase shift, that is calculated using average velocity for each depth.

In the last, we implemented and we tested the migration algorithm proposed by Ottolini (1982) also to migrate constant offset ray parameter sections in homogeneous media and in those media where the propagation velocity of seismic waves varies vertically. In this method, the data is organized in CMP and offset gathers, are transformed to the tau-p domain, to get constant ray parameter sections. Organized in constant p sections, we can then migrate them.

As a theoretical contribution of this work, we first extended the migration method proposed by Ottolini (1982) to heterogeneous media. To extend it for heterogeneous media we used a reference velocity to extrapolate the wave-field in depth organized in constant p section. From the solution of eiconal equation a relation between offset and ray parameter (p_h) is getting that can be used in a second correction like in the slit step migration method for correct the lateral velocity variation presented in the media.

The method presented by Biondi (2002) we also presented and argued its possibities of aplication for heterogenous media. In this method the DSR equation is solved for square of frequency that is transformed to time domain and implementated as a reverse-time migration method.

In this work, the methods of Dubrulle (1983), Popovici (1994), Costa (1997) and Ottolini (1982) had been implemented and tested, getting very good results in synthetic models, that demonstrate its applicability. Also we here presented and argued the extension of the work of Ottolini (1982) for heterogeneous media, as well as the method considered for Biondi (2002), aiming at its better agreement for implementation in future works.